Spleen, Trash & Trivia

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Effetto farfalla, acquazzoni imprevisti e altre amenità

Tempo di lettura: 6 minuti

Disclaimer: questo articolo parlerà di matematica (in particolare, di problemi mal posti). Prima che scappiate urlando: giuro che non vi farò del male, non userò parole difficili e non interrogherò alla fine. 

Disclaimer 2: questo articolo potrebbe contenere imprecisioni su aspetti tecnici. Se le notate, non uccidetemi. Lo scopo era trattare l’argomento in modo leggero, non rigoroso.

Avete presente l’effetto farfalla, vero? Quella cosa che viene citata ogni tanto in film, serie tv e quant’altro, per cui il battito d’ali di una farfalla nella foresta amazzonica può provocare, tramite una serie di effetti a catena, un uragano dall’altra parte del mondo.

Sì, vabbè...”, penserete o avrete pensato voi. “Allora anch’io quando scoreggio.

Ecco, mi avete spezzato l’immagine poetica che volevo costruire. Allora tanto vale tagliare i preamboli.

farfalla
Guardate che sguardo da serial killer…

Quando la gente si pone male…

Vi siete mai chiesti perché le previsioni del tempo non siano affidabili? I colonnelli dell’aeronautica sono tutti scemi?

No, poverini, è che è un problema oggettivamente difficile. Tu hai fatto i tuoi bei calcoli che la perturbazione X passerà dal posto Y lunedì mattina e poi trac, una farfalla batte le ali nella foresta amazzonica, un cretino scoreggia nel tentativo di provocare un uragano, ed ecco un bell’acquazzone di domenica pomeriggio.

Cioè, in realtà non è proprio così, perché gli effetti del battito d’ali di una farfalla ci mettono di più a propagarsi. Ma intanto che aspettiamo l’uragano, io comincio a parlarvi dei cosiddetti problemi mal posti.

No, non nel senso che qualcuno ha chiesto “Ehi, vuoi dirmi che tempo fa domenica?” in tono aggressivo, e allora l’omino del meteo si è sentito sotto pressione e ha sbagliato i calcoli. Mal posto secondo Hadamard.

Hada chi? Hadamard.  Dal nome può sembrare un formaggio olandese, invece è un tizio che, tra le altre cose, un giorno decise che i problemi di matematica, per essere belli, devono avere tre caratteristiche: la soluzione deve esistere, essere unica, e con dipendenza continua dai dati.

Ora: esistenza, perché già così le verifiche di matematica sono difficili, figurati se le soluzioni al problema non esistono.

Unicità: perché così è più facile spiegare come mai il tuo compito sia identico a quello del compagno di banco.

Ma cosa cacchio è la dipendenza continua dai dati?

Hadamard
Il signor Hadamard

Facciamo un esempio

Pensate al seguente problema da seconda elementare: Pierino va a comprare le sue caramelle preferite. Una confezione costa due euro. Pierino ne compra tre. Sappiamo tutti che 2×3=6, quindi Pierino spenderà sei euro.

Ora, immaginate che proprio mentre sta per pagare, arrivi di corsa l’amico di Pierino, Giovanni, che esclama: “Ehi, aspetta! Dall’altra parte della città c’è un negozio dove le stesse caramelle costano solo 1,99 euro alla confezione!”

Pierino fa una moltiplicazione in colonna un po’ più difficile e scopre che spenderebbe 5,97 euro. Pierino manda Giovanni a quel paese e paga i suoi sei euro.

Ecco, questo è un problema con dipendenza continua dai dati: il prezzo di una singola confezione cambia di poco, il totale cambia di poco.

Un problema mal posto è quando, se la singola confezione di caramelle costa 1,99 invece che 2 euro, comprarne tre costa due centesimi. O due milioni. Cambi di poco il dato iniziale, la soluzione non c’entra più una mazza.

Perché i problemi mal posti sono brutti

Semplicemente perché, tante volte, nei nostri problemi intervengono degli errori di misura. Se sto guidando e la mia destinazione è tra 50 chilometri, guardando a che velocità sto andando ho un’idea di quanto ci metterò. Se il tachimetro è un po’ sballato e mi segna 60 km/h quando in realtà sto andando a 59,5, mi aspetto che questo non comporti che ci metterò tre ore in più.

Oppure: se un medico prescrive a un paziente 80mg di un certo principio attivo, ma al farmacista ne scappano 80,01, mi aspetto che il paziente non schiatti sul colpo.

Capite bene che se assunzioni come quelle di sopra non funzionano, la vita diventa un casino.

Stessa cosa sull’unicità della soluzione: se fate acquisti su Amazon e al momento del checkout appare una scritta “il totale degli articoli che hai preso potrebbe costare 40 euro, ma anche 4000, lo scoprirai dal saldo della carta di credito a fine mese”, diciamo che non è proprio l’ideale.

Vabbè, ma quanti ce ne saranno di problemi mal posti?

Era quello che pensava anche il buon Hadamard. Più o meno tutti problemi sono ben posti, diceva lui. Per lo meno, tutti quelli di interesse pratico. Fu solo negli anni Settanta che la gente si accorse che non era così.

Esempio: ho usato questo nuovo macchinario medico per fare delle analisi a un paziente, adesso vorrei usare i dati raccolti per capire se ha un tumore. Domanda abbastanza interessante, non trovate? Sarà un problema ben posto, vero?

No.

Per fortuna, la gente si è inventata tecniche per avere soluzioni ragionevoli anche ai problemi mal posti (ma è un discorso un po’ più complicato, quindi vi chiedo di credermi sulla parola). Il signor Allan MacLeod Cormacknel 1979, ricevette un premio Nobel per la medicina proprio in quanto inventore dell’algoritmo dietro la tomogrofia a raggi X.

Ovvero, la matematica aiuta a diagnosticare i tumori per tempo. Lo dico così, en passant, per quelli convinti che non serva a niente.

Aspetta, però mi sto perdendo. Cosa c’entra questo con le previsioni del tempo? Non si facevano anche prima degli anni Settanta? 

Una farfalla batte le ali in mezzo alla foresta amazzonica e tu ti ritrovi a parlare di tumori. E io sto mischiando cose simili ma un po’ diversi (vedi disclaimer 2).

Quello delle previsioni del tempo è un problema complesso per più motivi. Tanto per cominciare, qui, più che di errori di misura, il c’è un problema di incompletezza delle condizioni iniziali. Ovvero, quando considero tutti i fattori che influenzano il meteo di Brescia, non sto a pensare alle farfalle della foresta amazzonica. È come se Pierino si fosse dimenticato di avere un buono sconto da 3 centesimi per il negozio di caramelle. Nel suo caso, la spesa totale non cambia di molto. Se siete a Brescia e avete steso i panni fuori perché tanto davano bello, un occhio ogni tanto a come evolve il meteo datelo lo stesso.

Inoltre, ci sono altri pericoli che minacciano il vostro bucato. No, non i piccioni con la diarrea. Cioè, sì, anche loro, ma quello a cui pensavo era la mancanza di una soluzione analitica alle equazioni di Navier-Stokes.

La che???!!!

Chi è Navier-Stokes? Cosa vuole dal mio bucato? È lui che mi spaia i calzini?

Aspettate un attimo.

mollette sotto la pioggia

Chi vuol essere milionario?

Detto in termini super-spiccioli: le equazioni di Navier-Stokes sono espressioni molto complicate che spiegano il comportamento dei fluidi su volumi molto grossi (esempio: l’atmosfera). Così complicate che nessuno è mai riuscito a risolverle.

Sappiamo che per determinare quanto costano tre pacchetti di caramelle dobbiamo moltiplicare per tre il costo di un singolo pacchetto. Sappiamo che per calcolare l’area di un quadrato dobbiamo elevare al quadrato la lunghezza del suo lato. Non abbiamo la più pallida idea di come tirare fuori delle previsioni meteo accurate dalle equazioni di Navier-Stokes (ok, qualche idea sì, ma volevo essere più drammatica).

È uno dei sette  problemi del millennio, ovvero quelli che nel 2000 furono individuati come i più importanti problemi ancora irrisolti della matematica. C’è un milione di dollari in palio per la risoluzione di ognuno di essi. Uno (la congettura di Poincaré ) è già stato smarcato, ma il vincitore ha rifiutato i soldi affermando che non gliene fregava niente (vedi questo articolo per avere un’idea del personaggio). Se volete lanciarvi su uno degli altri sei, affrettatevi e poi studiatevi bene l’andamento del cambio dollaro-euro.

Ovviamente, Navier-Stokes, non è importante solo per le previsioni meteo. Ma visto che è di questo che stiamo parlando, cosa si fa con il fatto che queste espressioni non le sappiamo risolvere?

Le si approssima. Ovvero, si risolve un problema molto simile, ma più facile.

Immaginate di dover misurare l’area di una stanza quasi quadrata, ma con un lato leggermente storto, proprio appena appena. Sì, sarebbe un trapezio, ma la formula dell’area del trapezio era difficile e non ve la ricordate. Quindi fate finta che sia un quadrato. Se poi c’era mezzo metro quadro in più, mica qualcuno verrà poi a ricalcolarvi le tasse e dirvi che dovete mille mila euro al fisco, vero?

Ecco, la prossima volta che beccate un acquazzone quando le previsioni davano bello, vedetelo come una mega multa per il ritardo dell’umanità nel risolvere problemi matematici.


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8 Comment

  1. Un problema mal posto è quando, se la singola confezione di caramelle costa 1,99 invece che 2 euro, comprarne tre costa due centesimi

    intanto i centesimi erano 3. Poi la frase corretta era: ” comprarne tre costa tre centesimi di meno“.

    Quel “di meno” è fondamentale, o tutta la matematica se ne va a pallino…

    e “millemila” si scrive tutto attaccato.

    1. Eh, no. I centesimi possono essere due, tre, sessantaquattro, cinquecentoquindici.

      Il concetto è: l’operazione di somma (o di moltiplicazione) è ben posta. Se c’è una differenza di un centesimo nel dato (il costo di un singolo pacchetto) la differenza sarà dell’ordine dei centesimi anche sulla soluzione (il risultato dell’operazione di somma/moltiplicazione).

      Se il problema è mal posto, una differenza minima sul dato può invece provocare differenze molto grandi sulla soluzione (es: il prezzo unitario passa da 2 a 1.99, il totale da 6 a 0.02, oppure da 6 a 2000000).
      Questo ovviamente non succede con la somma, ma con la risoluzione di problemi più complessi (es: soluzione di certi integrali)

      In realtà, questa definizione è tutto meno che rigorosa e quest’esempio serve solo a dare un’idea intuitiva. La questione è un po’ più sottile e un po’ più complicata di così, Ma l’idea è grosso modo questa.

      Spero di aver chiarito 😉

      1. Ohibò, dunque era voluto? Due centesimi lì non erano la differenza tra i due costi ma il costo??

        Mah, diciamo che ti credo sulla fiducia e che, alla prima occasione, cercherò di approfondire il concetto: mi sa che ho da imparare qualcosa (dunque grazie).

  2. 1) Argomento molto molto interessante 😀
    2) Bel modo di scrivere un post, a domanda e risposta (lo dico perché so che hai appena iniziato, e volevo rinforzarti questa cosa XD)!

  3. Ma che? Hai fatto modifiche e non dici nulla??

    Ah beh, allora…

    “qui, più che di errori di misura, il c’è un problema di incompletezza delle condizioni iniziali

    Succede: uno porta un piatto pieno di articoli e qualcuno gli cade sempre fuori…

    ” Se poi c’era mezzo metro quadro in più, mica qualcuno verrà poi a ricalcolarvi le tasse”

    Uno dei due stona (sì, lo so: sono un frignetta)

    1. Mi rispondo da solo:

      1) non hai modificato nulla
      2)sono io che non ricordo
      3)siamo buoni tutti a trovare le sviste poi, alla centesima rilettura.

      1. Tranquillo… In ogni caso, il giorno che farò i big money monetizzando il blog e deciderò di investirne una parte per ingaggiare un correttore di bozze, sarai la mia prima scelta 😉

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